Междупредметни връзки по Математика

Математика - диофантово уравнение

Всяко алгебрично уравнение с цели или рационални коефициенти, чийто решения се търсят предимно в множествата на целите числа се нарича Диофантово уравнение. Особеното при този вид уравнения (и системите от такива уравнения) е, че броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията.в тях. Наречени са в чест на древногръцки математик Диофант от Александрия. Такива уравнения се срещат в основния му труд “Аритметика”.

Два са определящите фактори за сложността при решаване на подобен тип системи уравнения: броят на неизвестните величини и най-високата степен на неизвестното в системата от уравнения.

Линейно диофантово уравнение от вида: Ax + By = C има решение в областта на целите числа, ако най-големият общ делител на коефициентите пред неизвестните (A,B) е делител и на C. Предварително се извършва проверка дали уравнението може да има цели корени – чрез алгоритъм на Евклид се намира най-големия общ делител на коефициентите пред двете неизвестни и след това се проверява дали намерения НОД е делител и на свободния член.

Пример: 4x + 4y = 2 диофантовото уравнение няма решение в множеството на целите числа, но уравнението 4x + 2y = 4 има решение

При ръчно решаване на подобно уравнение може да се търсят корените чрез конкретно свойство на числената стойност на коефициентите. Тук подходът е изчерпващо търсене – проверяват се всички възможности за корени в даден числов интервал. След намиране на едно от възможните решения се извежда и общото решение на конкретното уравнение.

Общото решение на линейно диофантово уравнение може да бъде представено чрез формулите:

X = Xo - (B * t) / NOD

Y = Yo + (A * t) / NOD

където NOD е най-големият общ делител на A,B

t може да приема стойност на цели числа 0,1,2,3...

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - диофантово уравнение.

Входни данни са стойности на двата коефициента.

Проектът да генерира случайна стойност за параметъра t [1..11] и да извежда решението на линейното диофантово уравнение за този параметър.

Математика - проценти, смеси и разтвори

В задачите, от основното образование, за смеси и разтвори обикновено присъстват 6 величини: процент, тегло на двата начални и крайния разтвор.

Когато в разтвора участва вода се споменава само процент на активната съставка. Такива са задачите с алкохолни напитки, захарен разтвор, солена вода и др.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - проценти, смеси и разтвори.

Като входни и изходни данни да участват: тегло или обем, процент или части на начални разтвори и крайна смес/сплав.

Да се реализират поне 5 неповтарящи се комбинации от входни параметри.

Примери за повтарящи се комбинации:

Какво е процентното съдържание на захар във воден разтвор, ако в N части 10% захарен разтвор се долее 1 част вода.

Какво е процентното съдържание на мед в новата смес, ако са използвани два вида медни отпадъци N кг. с 40% мед и M кг. с 60% мед.

Използвайте едни и същи данни за проверка: Пример: процент_1 = 30; тегло_1 = 200; процент_2 = 40; тегло_2 = 300; процент на сместа = 36; тегло на сместа = 500

Математика - средна стойност

Да се реализира проект, предтсвящ междупредметни връзки Математика и Информатика

Тема на проекта:Математика - средна стойност.

В практиката често се налага изчисляване на средна стойност. В зависимост от алгоритъма за обработка на стойностите видовете средна стойност са:

1) средна аритметичнa стойност или само средна стойност

Изчисляване на средно аритметична стойност е широко разпространен метод в статистиката. Има ниска изчислителна сложност. Недостатък - може лесно да се повлияе от отклонения, които не са представителни за изследваната съвкупност.

Средната аритметична стойност от N стойности е равна на отношението между сумата на участващите елементи и техния брой.

Ss = (A1 + a2 +A3 +… + An)/N

2) средна квадратична стойност

Средна квадратична стойност на редицата е корен квадратен от отношението: числител: сумата на квадратите (втората степен на елементите) и знаменател N - броя на всички числа в редицата.

Sk = sqrt((a1^2 +a2^2 +…..+an^2)/ N)

3) средна хармонична стойност

Средно хармонично H на редицата елементи представлява отношение между броя на елементите N към сумата от реципрочните стойности на всички елементите от редицата:

Sh = N/(1/a1 + 1/a2 + ….+ 1/an)

Ограничение: при изчисляването на средна хармонична стойност не трябва да има стойности 0!

4) средна геометрична стойност

Средна геометрична стойност на редицата е корен n-ти от произведението на всички елементи в редицата - броят на елементите е N.

Sg = (a1*a2*…an)^(1/n)

При изчисляване на произведението съществува възможност за прехвърляне допустимия размер на типа променливи. Алгоритъмът прилича на алгоритъма за средно аритметично с тази разлика, че вместо да се събират, числата се умножават и вместо след това да се разделят на N - броя числа, се изчислява n-тия корен на произведението им.

Един друг подход е изчисляване на сумата от логаритъм на всеки член на редицата. Тази сума се разделя на N – броя елементи и полученият резултат се антилогаритмува. Ограничение - разглежданите стойности трябва да са положителни.

5) средна пpетеглена стойност

В този случай в редицата елементи участват предварително изчислени средни стойности на различни по брой групи от елементи.

При средна претеглена стойност се отчитат коефициенти на тежест за всяка отделна група и тя представлява отношение между сбора от произведението на теглото на всеки елемент/член (броят на срещанията му) и стойността му в дадена група/извадка към общия брои елементи.

Ще означаваме с p броят/тежестта на всеки елемент, а с А стойността му. Формулата би изглеждала

Sp = (p1*A1 + p2*A2 + pm*Am)/N, където N=p1+p2+…pm.

В общия случай при изчисляване на средна аритметичнa, квадратична, хармонична и геометрична стойност за едни и същи (различни по стойност) елементи се получават различни резултати. Равенство в резултата има само, ако всички елементи в редицата имат една и съща стойност.

Реализираният проект извежда и елементите, които са с най-малка и най-голяма, по абсолютна стойност, разлика с изчислената средна стойност.

При изчисляване на средна пpетеглена стойност се генерират допълнително числа, представящи коефициенти на тежест за всяка отделна стойност.

По подразбиране (в самото начало) всички елементи имат равни стойности

Математика - числа с римски цифри

Римската бройна система е непозиционна, т.е стойността на цифрата не зависи от нейното място в записването на числото.

Всяка цифра съвпада (семиотично) с използваните букви: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000

Изписването на римските числа се основава на следните принципи:

символ, намиращ се отдясно на символ с по-голяма стойност, се прибавя към неговата стойност; вярно е и обратното - символ, намиращ се отляво на друг символ с по-голяма стойност, се изважда от неговата стойност;

символите са подредени в низходящ ред по стойност, с изключение на онези за които се прилага предходното правило;

символ, представляващ стойност 10^n, не може да се поставя пред символ, по-голям от 10^(n+1). Пример M може да бъде предшестван от D и C, но не и от I, V, X или L.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - числа с римски цифри

Проектът да преобразува числата с арабски цифри в римски и обратно, т.е. да решава правата и обратна задача.

Потребителят да избира какво число въвежда (в текстово поле) и чрез команден бутон да се извежда другото число.

Ограничение за въвежданите естествени числа - до 3999.

Геометрия - изчертаване на стилизирано изображение

Да се реализира проект, представящ междупредметна връзка Математика (Геометрия) и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - изчертаване на стилизирано изображение.

Проектът да съдържа:

• 2 графични обекта - за готовото и начертаното изображение;
• 2 обекта команден бутон - за изчертаване и за изчистване на графичното поле.

Да съдържа текстово поле, в което предварително са въведени началните условията за работа и търсения краен резултат.

Математика - произведение на кватерниони (хиперкомплексни числа)

Кватерниoн (лат. quaterni, по четири) е система от хиперкомплексни числа, образуваща векторно четиримерно пространство над поле от реални числа.

Предложени са от Хамилтон през 1843 г.

Кватернионите са удобни за описание на изометрия на три и четиримерно Евклидово пространство, за създаване на тримерна графика. Получили са широко разпространение в механиката, в изчислителната математика - навсякъде, където изчисленията са свързани с числа притежаващи едновременно 3 имагинерни стойности.

Прочетете допълнително за жироскоп, пумпал и келтски камък.

Един кватерниoн може да бъде представен като формална сума от: a+bi+cj+dk, където a,b,c,d са естествени числа, а i,j,k са имагинерна единица.

Таблицата за умножение на базисен квартенион би изглеждала:

• 1,i,j,k
• i,-1,k,-j
• j,-k,-1,i
• k,j,-i,-1

При получаването на таблицата се спазват следните правила:

• произведението на имагинерните части не е комутативно: i*j=k но j*i=-k;
• квадрата на всяка от трите имагинерни части на базисния квартенион е -1
• произведението на две различни имагинерни части се определя от кръгова схема.

Да се реализира проект осъществяващ междупредметна връзка Математика Информатика.

Тема на проекта: Математика - произведение на кватерниони (хиперкомплексни числа).

Проектът да илюстрира умножение на два кватерниoна.

Отделните части (на базисния кватерниoн) са представени чрез различни командни бутона. Потребителят да определя кой множител е първи и кой втори.

Избраните два множителя и резултатът да се показват е отделно текстово поле.

Проектът да дава възможност за нов старт от начално състояние.

Геометрия - равностранен триъгълник - лице, периметър

За равностранен триъгълник, по подразбиране, са зададени предварително:

• отношение - равенство на страните, височините, медианите и ъглополовящите;
• размер на всеки вътрешен ъгъл - 60 градуса;

Да се реализира проект, представящ междупредметна връзка Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - равностранен триъгълник - лице, периметър.

В проекта да се въвежда един размер от изброените:

• страна на триъгълника;
• периметър на триъгълника;
• лице на триъгълника;
• дължина на медиана;
• дължина на височина;
• дължина на ъглополовяща;
• радиус на описаната около равностранния триъгълник окръжност - R ;
• радиус на вписаната окръжност - r.

Избор за въвеждане на размер да се осъществява чрез радиобутон. Ако вече е бил правен избор, то при посочване на нов избор да се изтриват предварително въведените данни и да се забранява въвеждане на друг размер.

След събитие On-Click върху команден бутон да се изчисляват останалите размери.

В проекта да се съдържат два командни бутона:

• за извършване на изчисленията;
• за изтриване на входните данни и изведените резултати.

Математика - периметър на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30 градуса

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - периметър на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30 градуса.

Даден е правоъгълен триъгълник ABC (AB хипотенуза). Острият ъгъл при връх A е 30 градуса. От върха на правия ъгъл C са прекарани към хипотенузата:

• височина CH;
• медиана CM;
• ъглополовяща CL

Чрез група радиобутони се избира кое от изброените е дадено като размер:

• катет BC;
• катет AC;
• хипотенуза AB;
• височина CH;
• медиана CM;
• ъглополовяща (бисектриса) CL;
• лице S.

Проектът да съдържа два командни бутона:

• Изчисли - пресмята периметър на правоъгълния триъгълник;
• Изчисти - изтрива въведените данни и изчислените резултати.

Геометрия - ъглополовящи в триъгълник, височини, медиани

Да се създаде проект представящ междупредметна връзка Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - ъглополовящи в триъгълник, височини, медиани.

Изчисляват се дължини на вътрешни ъглополовящи в триъгълник Чрез радиобутони се избира една от следните възможности за въвеждане на:

• дължини на 3 височини;
• дължини на 3 страни;
• дължини на 3 медиани.

При промяна избора за входните данни да се извеждат адекватни съобщения - описание на 3-те височини, страни или медиани.

Проектът да извежда лице на триъгълника и дължината на всяка от трите му вътрешни ъглополовящи.

Проектът да съдържа текстови полета за въвеждане на избраните дължини, два командни бутона за начало на изчисляване и за изтриване на въведените входни данни и изведените дължини на ъглополовящи.

Геометрия - изчисляване на вписана сфера в прав кръгов цилиндър

В училищните задачи често вместо числото на Лудолф, което е ирационално число със стойност pi =3.1415... се използва константата на Архимед 22/7, която е периодично число.

Да се реализира проект, в който се осъществяват междупредметни връзки Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - изчисляване на вписана сфера в прав кръгов цилиндър.

Чрез проекта да се изчисляват повърхнина и обем на прав кръгов цилиндър по зададени два параметъра от набора: радиус на основа, височина, околна, пълна повърхнина и обем на цилиндър.

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите параметри.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените три параметъра на правия кръгов цилиндър.

Да се изчисли и изведе повърхнина и обем на максималната сфера вписана в цилиндъра.

Прочетете допълнителен материал за прав кръгов цилиндър, сфера, кълбо и връзката между параметри като: радиус на основата, височина, повърхнина - околна и пълна и обем.

Математика - сходяща редица

В окръжност с радиус R (въведено реално число) е вписан квадрат. Във вписания квадрат е вписана окръжност, а в нея е вписан квадрат и т.н. Търси се общата сума от лицата на всички вписани квадрати в окръжността с радиус R.

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - сходяща редица.

От теорема на Питагор 2*b*b = 4*R*R. Радиусът на вписана окръжност в квадрат е r = b/2, т.к. диаметъра на вписаната окръжност е равен на дължината на страната.

Така се формира сходяща редица - безкрайна намаляваща геометрична прогресия.

Лицето на първия квадрат е S = b*b = 2*R*R - първият член на прогресията е a1 = 2*R*R.

Всяко следващо лице (на следващия по-малък вписан квадрат) е 1/2 от лицето на предходния квадрат - т.е. стъпката на прогресията q = 1/2. Проектът трябва да изведе граничната стойност на тази сходяща редица - в случая безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Математика - система от 2 уравнения

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки на Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - система от 2 уравнения.

Потребителят въвежда в текстови полета стойността за следните две уравнения с две неизвестни

• x - y
• x*y

Проектът изчислява и извежда стойностите на двете неизвестни, ако са рационални числа.

Пример: x - y = 6; x*y = 16 Изход: x = 8, y = 2

Геометрия - обем на пирамида

Да се реализира проект, чрез което се представя междупредметна връзка между Математика (Геометрия) и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - обем на пирамида.

Чрез проекта да се изчислява обем и повърхнина на правилна четириъгълна пирамида по зададени два параметъра от набора:

• основен ръб b;
• височина на пирамидата H;
• околна повърхнина на пирамидата Sок;
• обем на пирамидата V.

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на желаната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените останалите два параметъра на правилната четириъгълна пирамида.

Пример: b = 6, H = 4 Изход Sок = 60, V = 48

Прочетете допълнителен материал за правилна четириъгълна пирамида и връзката между параметри като: основен ръб, височина, апотема, повърхнина и обем на пирамидата.

Математика - максимални суми

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - максимални суми.

Чрез обект комбинирано поле да се въведат 5-10 броя естествени числа от интервала [10..10010]. За всяко отделно въведено число автоматично да се генерира друго естествено число, така че всяка двойка числа - въведено и генерирано да имат равни максимални суми.

Да се използват група командни бутони:

• за извеждане на двойките числа с равни максимални суми;
• за изчистване на всички въведени данни и генерирани резултати.

Математика - математическа индукция

Математическата индукция е метод за доказване свойства на естествените числа. Една типична употреба е доказване, че дадено твърдение е вярно за всички естествени числа от даден интервал.

Разглеждаме дадено естествено число N, с което извършваме следните операции:

• ако числото е четно го делим целочислено на 2;
• ако числото е нечетно към стойността му прибавяме 1.

Процесът продължава до получаване на 1.

Подобен резултат се получава и ако числото е нечетно стойността му се умножава по 3 и се прибавя 1.

Да се се реализира проект, представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - математическа индукция.

Осъществяване на доказателството е чрез проверка на произволно въведено число от интервала [2..2002]. Да се извежда резултат за всяка отделна стъпка при осъществаване на алгоритъма. При верен резултат за всяко въведено число да се извежда 1 и 0 в останалите случаи.

Геометрия - лице на неправилен, изпъкнал N-ъгълник

При проучвания за проектиране и строителство често срещана задача е изчисляване площ на неправилен изпъкнал многоъгълник. Входни данни са координати на триангулачни точки - координати на върховете му.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - неправилен, изпъкнал N-ъгълник.

Примерният проект използва графичен потребителски интерес, чрез който интерактивно се въвеждат координати на точки или се изтрива съществуваща точка.

Автоматично се изчислява лице на неправилен, изпъкнал N-ъгълник като сума от лицата на съставящите го триъгълници.

Геометрия - лице на N-ъгълник, метод на трапеци

В ред практически задачи се изисква изчисляване площ на неправилен изпъкнал многоъгълник. Входни данни са координати на върховете му - в геодезията координати на триангулачни точки. Най-често използваните алгоритми са метод на трапеците и метод на триъгълници с общ връх.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - лице на неправилен N-ъгълник, метод на трапеците.

Примерният проект използва графичен потребителски интерес, чрез който интерактивно се въвеждат точки, представляващи върхове на многоъгълника.

Автоматично се изчислява лице на неправилния N-ъгълник по метода на трапеците. Построяват се и помощните линии, определящи отделните правоъгълни трапеци.

Допълнително е реализирана възможност за изчисляване на лицето и като сума от лицата на съставящите го триъгълници с общ връх.

Геометрия - минимален покриващ правоъгълник, координати на точки

Нека имаме съвкупност от точки в равнината с известни координати по абсциса и ордината. Търси се най-малкия правоъгълник, чийто страни са успоредни на координатните оси и покрива всички точки измежду дадените. Допустимо е част от точките да лежат върху страните и/или върховете на правоъгълника.

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - минимален покриващ правоъгълник

Потребителят да има възможност да въвежда координати точки чрез мишката. Координатите да се извеждат в списъчно поле.

Чрез съвкупност от командни бутони:

да се изтрива посочена точка;

да се изтриват всички въведени точки;

да се изчертава минимален покриващ правоъгълник по въведени координати на точки.

Геометрия - точки лежащи на права

През една точка в равнината могат да се построят безброй много прави.

Две произволни точки от равнината определят една единствена права.

Нека имаме координати на 3 точки в равнината. Можем да определим дали тези точки лежат на една права чрез лице на триъгълник.

а) чрез лице на триъгълник S по формула на Херон:

Изчисляват се разстоянията между точките a,b,c - чрез формула на Питагор за хипотенуза в правоъгълен триъгълник;

изчислява се p полупериметър на триъгълника;

изчислява се S лице на триъгълника по формула на Херон.

б) чрез ориентираното лице Sor:

означаваме координатите на точките

по абсциса и ордината чрез ax, ay, bx, by, cx, cy;

съставяме детерминанта с тези стойности

ax ay 1

bx by 1

cx cy 1

изчисляваме детерминантата от 3-ти ранг deter = ax * by + ay * cx + bx * cy - cx * by - cy * ax - bx * ay

ориентираното лице на триъгълника е Sor=deter/2 - абсолютна стойност

Предимството на втория алгоритъм е, че не се изчислява корен квадратен.

И в двата случая, ако лицето на триъгълника е 0, то точките лежат на една права.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - точки, лежащи на права.

Да се предостави на потребителя възможност за посочване координати на точки, посредством мишката.

Проектът да има вградена възможност за:

изтриване на посочена точка;

построяване на линия между точки, лежащи на права.

Геометрия - принадлежност на точка към триъгълник

Нека имаме 4 точки от равнината с различни координати. Първите 3 точки не лежат на една и съща права и представляват върхове на триъгълник. Последната точка може да принадлежи триъгълника или да лежи извън него.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - принадлежност на точка към триъгълник.

Потребителят посочва координатите на 4 точки, а изпълнимия проект извежда резултата от изчислението: точката принадлежи на триъгълника или лежи извън него.

Реализираният проект извежда междинните резултати от изчисленията, както и позволява да се изтрие една или повече точки измежду въведените.

Пример: координатите на точките, по ред на въвеждане, са:

64, 106; 146, 19; 244, 99; 165,146 Изход: Точката лежи извън триъгълника.

Математика - балансирана редица

Ще наричаме една редица балансирана, ако в нея съществува елемент такъв, че сумата на всички елементи от началото до него включително е равна на сумата на останалите елементи до края на редицата.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - балансирана редица.

Проектът да съдържа 15 обекта, представящи елементи в редицата. Всеки обект съдържа едно цифрено естествено число, като началната стойност от тях е 0.

Да се въвеждат цифри, чрез събитие On-Click върху един от 15-те възможни обекта. При всяко събитие, стойността се увеличава с 1, но не нахвърля 9.

Проектът да осъществява проверка дали въведените цифри образуват:

палиндром - 001100000001100

балансирана редица - 001120000001111

Математика - разбиване на сума

Съществуват ред практически проблеми, свързани с:

1) да се изплати определена сума с минимален брой банкноти;

2) да се изплати определена сума, представляваща сума от суми, всяка от които трябва да се изплати с минимален брой банкноти;

3) да се представят възможните начини за разбиване на сума чрез предварително определени стойности - номинал на банкноти.

Първите два проблема могат лесно да бъдат решени с алчен алгоритъм, докато решението на третия може да бъде осъществено с комбинаторен алгоритъм.

Да се реализира проект, осъществяващ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - разбиване на сума.

Да се реализира възможност потребителят да натрупва сума, чрез въвеждане на различни естествени числа. Всяко ново събираемо е определена сума и се представя чрез минимален брой банкноти. Новото събираемо добавя този минимален брой към натрупания общ брой банкноти.

Да се реализира допълнителна възможност за разбиване на число като сума от естествени числа - въведено число се представя като сума от различни по брой и ограничени по вид събираеми.

В реализираният проект се използват 7 вида купюри за натрупване на сума и 5 за разбиване на сума.

Математика - датски флаг

Датският флаг има богата история и е най-старото държавно знаме. Легендата за неговото появяване е от XIII - XIV век. През вековете е претърпял лека промяна. Флагът на Дания представлява бял кръст на червен фон и е с отношение ширина : дължина = 28:37.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - датски флаг

Входни данни за проекта са дължина и ширина на датския флаг, изходни данни изчислена дебелина на белия кръст, така че едновременно да се изпълняват двете условия: площта на кръста да бъде половината от площта на датския флаг, както и рамената на кръста да са съответно равни на дължината и ширината на флага.

Пример: x =37, y = 28 Изход: d = 9.3

Математика - математическа индукция, квадрати

Математическата индукция e и метод за доказване на твърдения относно свойства на естествените числа. Пример за такова приложение е доказване на твърдението, че квадратът на всяко естествено число N може да се представи като сума от първите N нечетни числа.

Да се реализира проект, чрез който се осъществява междупредметна връзка Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - математическа индукция, квадрати.

Да се реализира проект, който доказва или отхвърля горното твърдение.

Входни данни: естествено число N. Изходни данни: първите N нечетни числа и тяхната сума.

Да има вградена проверка на въведените входни данни.

Пример: 5 Изход:1+3+5+7+9 = 25

Математика - изваждане чрез събиране

В реалния живот, при връщане на ресто, се прилага интересен алгоритъм за изваждане чрез събиране. Продавачът държи дадените от клиента банкноти и отброява рестото като натрупване към дължимата сума. Пример: цена на стока 27.18, дадена сума 30.00 Етапи при връщане на ресто 0.02; 0.10; 0.20; 0.50; 2 лв.

Да се реализира проект, осъществяващ междупредметни връзки на Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - изваждане чрез събиране.

В две текстови полета се въвеждат дължима и платена сума. Използвайте реалните стойности за банкноти (2,5,10,20,50,100) и монети (1,2,5,10,20,50,100).

В реализираният проект се използва алчен алгоритъм за изчисляване минимален брой монети и банкноти при връщане на ресто и се извеждат отделните етапи - визуализира се алгоритъма: изваждане чрез събиране.

Осъществете защита по вход за дробни или отрицателни входни стойности.

Математика - комбинации без повторение, тото

Комбинации без повторение от n-елемента от k-ти клас са съединения, всяко от които съдържа по k различни елемента от дадените n и се различават едно от друго с поне 1 елемент.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - комбинации на тото 2.

Чрез радиобутони да се избира вид разпространена игра на спортния тотализатор.

Да се предостави възможност на потребителя да въвежда/коригира числа от допустимите. Всяко събитие On Click сменя да състоянието на посоченото число - маркирано (задраскано, избрано) и свободно, неизбрано.

Да се реализира генератор за случайни числа, чрез който се показват различни комбинации без повторение. Чрез команден бутон да се генерират фиксирания брой случайни числа, в зависимост от вида на избраната игра (тото 5х35, 6х42, 6х49).

Да се извърши оцветяване с различен цвят на: неизбраните, посочените, изтеглените и познатите числа.

Математика - комбинаторика, оракул

Вариациите се използват за изчисляване броя начините, по които от дадено множество от n на брой елемента могат да се изберат k на брой от тях (клас на вариацията). Както при пермутациите, така и при вариациите наредбата, реда на избиране на елементите, е от значение.

Вариации без повторения от n елемента от клас k:

брой вариации = n*(n - 1)*(n - 2) *. . .* (n - m + 1)

Вариации с повторения от n броя елементи от клас k.

брой вариации = n^k - брой елементи на степен класа вариация (броя на участващите елементи в конкретна вариация).

Пример: 9 елемента 3-ти клас Изход: брой вариации 729

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - комбинаторика, оракул.

Проектът да имитира оракул, даващ различни предсказания чрез вариация на ограничен набор изречения.

В представения проект се демонстрират вариации с повторения от 9 елемента клас 3.

Всяко конкретно „предсказание” се формира от отделни изречения/фрази които се копират директно от таблица с 9 реда и 3 колони или общо 27 различни фрази. Има заложено програмно ограничение за последователно повторение на част от предсказание.

Математика - координати на точки, върхове

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - координати на точки, върхове.

В реализирания проект да се въвеждат координати (чрез мишка) на N броя точки.

Както резултат да се проверява кои точки измежду въведените са върхове на някой от видовете триъгълници: равнобедрен, правоъгълен, равнобедрен и правоъгълен, както и видове четириъгълници: квадрат, правоъгълник, успоредник, ромб.

За всяка от фигурите да се извежда поредния номер на точките, както и координатите на съответните й върхове.

След посочване на точките:

Потребителят да има възможност да въвежда отделно своя анализ за брой на отделните видове фигури.

Проектът да извършва автоматизиран анализ колко от посочените фигури могат да се формират.

Да се предостави възможност на потребителя да посочи точката, която участва едновременно в най-много фигури.

Свойства на някои равнинни фигури:

квадрат - равни страни, равни диагонали. Две по две съседните му страни са взаимно перпендикулярни, а срещулежащите са успоредни.

правоъгълник - две по две равни срещулежащи страни, две по две перпендикулярни прилежащи страни и равни диагонали

успоредник - две по две успоредни и равни срещулежащи страни и различни по дължина диагонали

ромб - страните са равни, две по две са успоредни и различни по дължина диагонали

равнобедрен трапец - две успоредни страни (основи a и c) с различна дължина, две равни срещулежащи страни (бедра) и равни диагонали.

Математика - методи разпределение на мандати с избирателна квота

Пропорционалните избирателни системи се прилагат в многомандатни избирателни райони

Математическите методи за разпределение на мандатите се разделят в две основни групи: системи с избирателна квота и системи на делителя.

Определяне на квотата най-общо се изчислява като отношение между действително подадените гласове и броя мандати.

Отношението между гласовете, подадени за дадена партия и изчислената квота дава основните мандати за тази партия.

Допълнителните мандати за партиите се изчисляват (в низходящ порядък) на основа получените остатъци при изчисляване на основните им мандати.

Проблем възниква когато трябва да се разделят по-малък брой допълнителни мандати между по-голям брой партии с равни остатъци.

По-известни системи с избирателна квота (Quota Method, Largest Remainders Method) са:

Метод на Хеър (Hare method) - квотата на Хеър се определя по формулата q = v/s, където v е общ брой действителни гласове, а s е брой мандатите в многомандатния район.

Метод на Хагенбах-Бишоф (Hagenbach-Bischoff method) - квотата на Хагенбах-Бишоф се определя по формулата q = v/(s+1)

Метод Droop (Droop method) - квотата на Droop се определя по формулата q = 1 + v/(s+1)

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - методи разпределение на мандати с избирателна квота.

Входни данни са: брой партии, брой мандати в многомандатния район, брой гласували за всяка от партиите. Като изход се извежда разпределения на мандатите между участвалите партии.

Прочетете допълнителен материал за методи за разпределение на основните и допълнителните мандати, за други системи с избирателна квота - като Imperali method.

Последователност при въвеждане на данни в примерния проект:

В полето Брой партии се въвежда естествено число [2-99] - брой регистрирани партии.

В полето Брой мандати се въвежда естествено число [2-99] - брой депутати.

Натиска се бутон Определи. Автоматично се генерира броя регистрирани партии.

От списъчното поле Партия се избира пореден номер регистрирана партия.

Въвеждане на брой гласували за дадена партия

В текстовото поле Гласували се въвежда естествено число [0..99999999]

Натиска се бутон Определи.

Предходните стъпки се повтарят за всеки номер партия.

Избира се начин за изчисляване: Хеър, Друп, Хагенбах-Бишоф.

Натиска се бутон Изчисли.

Автоматично се изчисляват:

предварителни мандати;

окончателни мандати;

квота (брой гласували за 1 мандат)

процент гласували за дадена партия.

При промяна начина за изчисляване се прави сравнителен анализ между отделните методи.

Натиска се бутон Изчисти за въвеждане на нови данни.

Примерни данни: 5 партии, 7 мандата, гласове: 58125, 45871, 27142, 15947, 12264

Изход: 2+1; 2+0; 1+0; 0+1

Математика - системи на делителя за разпределение на мандати

Математическите методи за разпределение на мандатите се разделят в две основни групи: системи с избирателна квота и системи на делителя.

При системи на делителя броят подадени гласове (получени от партия, коалиция), се разделя на определени числа, наречени делители. Така получените частни се подреждат в низходящ ред.

Разпространени системи на делителя (Divisor Method, Highest Averages Method) са:

Метод на Д’Ондт (D’Hondt method)

Метод на Сент-Лаг (Sainte-Lague method)

Датски метод (Danish method)

Метод Imperali (Imperali method)

Равнопропорционален метод (Equal proportions method)

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - системи на делителя за разпределение на мандати.

Входни данни са: брой партии, брой мандати в многомандатния район, брой гласували за всяка от партиите, избрана система на делителя, стойност на делители за всеки от посочените системи. Като изход се извежда разпределения на мандатите между участвалите партии.

Делителите в отделните методи, формират редици, определени със следните рекурентни формули:

• Д’Ондт 1 2 3 4 5 6 7 ... n
• Сент-Лаг 1 3 5 7 9 11 13 .... 2*n - 1
• Датски 1 4 7 10 13 16 19 .... 3*n - 2
• Imperali 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ..... (n+1)/2
• Равнопропорционален 1.41 2.45 3.46 4.47 5.48 6.48 7.48...... sqr(n*(n+1)

Математика - нагледно доказателство чрез графика

Методът на математическата индукция е метод за доказване на твърдения, отнасящи се до множеството на естествените числа. Доказателството включва следните 3 стъпки:

1. Проверява се, че твърдението е вярно при n = 1 (или n = р, ако р е най- малкото допустимо естествено число).

2. Допуска се, че твърдението е вярно при n = k (k>p).

3. Въз основа на допускането се доказва, че твърдението е вярно при n = k+1.

Едва след положителен резултат от предходните стъпки се приема, че твърдението е вярно за всяко естествено число n.

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Доказването на всяко от твърденията да се извършва нагледно - да е придружено с графична илюстрация за всяко от разглежданите естествени числа

Тема на проекта: Математика - нагледно доказателство чрез графика.

В проекта са реализирани доказателства, чрез математическа индукция, на следните равенства:

• 1 + 2 +...+ n = n*(n+1)/2
• 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n*n
• 1 + 2 +... + n-1 + n + n-1 +....+ 2 + 1 = n*n
• n^2 - (n-1)^2 +(n-2)^2 - (n-3)^2 +...+(-1)^(n-1) = n*(n+1)/2

Броят елементи се избира чрез списъчно поле, а вида равенства чрез радиобутони. Математическата индукция се реализира като в отделно текстово поле се извежда равенството за посочено естествено число чрез описаната рекурентна зависимост.

Математика - пропорция, сложно тройно правило

Задачите, в които са дадени величини, съответстващи пропорционално на други (повече от две) и се търси стойността на една от тях се наричат задачи със сложно тройно правило.

Да се реализира проект, чрез който се илюстрира междупредметна връзка между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - пропорция, сложно тройно правило.

Проектът автоматично да генерира условие на нова задача (с различен текст, коефициенти и търсено неизвестно), както и възможност за извеждане на решението й.

Примерен текст на условие:

Ако 30 лодки за 17 часа транспортират 19 кубика пясък, то колко лодки за 68 часа ще транспортират 152 кубика пясък?

Математика - проекции в правоъгълен триъгълник

Да се реализира проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - проекции в правоъгълен триъгълник.

Чрез проекта да се въвеждат по избор само два параметъра от множеството: катет, хипотенуза, височина към хипотенузата, проекция на катет. При избор на един/два катета или една/две проекции на катети или височина към хипотенузата да се изчислят дължините на останалите отсечки в същия правоъгълен триъгълник, като се ползват известните метрични зависимости в правоъгълен триъгълник..

Изборът на желаната комбинация параметри да се осъществи чрез списъчно поле, а дължините на страните/проекциите да се въвеждат в текстови полета.

В проекта са използвани следните формули и означения:

c - хипотенуза, a и b - катети в правоъгълния триъгълник;

a1, b1 - дължини на проекции за съответните катети;

hc - височина към хипотенузата.

Използвани са следните формули за метрични зависимости в правоъгълен триъгълник:

Питагорова теорема: c*c = a*a + b*b

Лице на правоъгълен триъгълник: a*b/2 = c*hc/2

Следствия от подобни триъгълници:

hc*hc = a1*b1

a*a = a1*c, както и b*b = b1*c,

Пример: a=3, b=4 Изход: c=5, hc=2.4 a1=1.8, b1=3.2

Математика - тръби пълнят басейн

Да се реализира проект, чрез който се представят междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - тръби пълнят басейн.

Чрез проекта да се решава задачата за пълнене на басейн с две или три тръби по въведено време за всяка от тръбите.

За всяка отделна тръба се въвеждат часовете, за които тази тръба сама би напълнила/изпразнила изцяло, 100% басейна.

Съобразно въведените данни се извежда уравнението и необходимото време, за пълнене на басейна, както като смесена дроб, така и в часове и минути.

Пример:

Ако една тръба пълни басейн за 7 часа, а друга за 5 часа, то за колко време двете заедно ще напълнят басейна?

• t/7 + t/5 = 1
• 12*t = 35
• t = 2 (11/12) часа = 2(5*60/12) = 2 часа и 55 мин.

Математика - умножение чрез деление

Съществува алгоритъм за целочислено умножение на две цели числа B и C. Удвоява се първото число B, а второто число C се дели целочислено на 2 (взема се само цялата част на остатъка). Всеки резултат от тези умножения и деления се записват последователно в две списъчни полета. Описаните действия се повтарят, до получаване C=1. Произведението на двете начални числа се получава като сума от число в първия списък, ако в същия ред на втория списък е записано нечетно число.

Да се реализра проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - умножение чрез деление.

Пример: 34 и 44

• 68 : 22
• 136 : 11
• 272 : 5
• 544 : 2
• 1088 :1

Изход: 136 + 272 + 1088 + = 1496

Осъществете защита по вход за дробни или отрицателни входни стойности.

Математика - уравнения, комбинации от неизвестни

Да се реализира проект, чрез който се осъществява междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - комбинация от суми на неизвестни.

Входни данни са: N брой променливи, както и всички неповтарящи се комбинации на суми от две различни неизвестни. Всяка от сумите е цяло число от интервала [-999..999]. Вида неизвестни и техните суми образуват система линейни уравнения.

Изходни данни: изчислените стойностите на всяко от неизвестните.

Пример: За 5 неизвестни са дадени всички възможни, неповтарящи се комбинации от суми на 2 неизвестни:

• X1 + X2 =11
• X1 + X3 =10
• X1 + X4 =6
• X1 + X5 =14
• X2 + X3 =5
• X2 + X4 =1
• X2 + X5 =9
• X3 + X4 =0
• X3 + X5 =8
• X4 + X5 =4

Изход:

X1=8; X2=3; X3=2; X4=-2;X5=6

Прочетете допълнителен материал за решаване на системи линейни уравнения.

Един от начините за решавана не система от линейни уравнения е последователното заместване на променливите от едно уравнение в друго.

В първото уравнение едно от неизвестните се представя като разлика между тяхната сума и другото неизвестно.

В останалите уравнения това неизвестно се замества от получената комбинация. Така се получава нова система от уравнения с n-1 неизвестни.

Горните две стъпки се повтарят, докато системата не се сведе само до едно линейно уравнение с едно неизвестно.

Нови - 20131230 _Math_Komb_Umn _Math_Magicheski_Kwadrat

Математика - комбинаторика, правило за умножение

Едно от основните правила на комбинаториката е правилото за умножение:

ако даден обект A може да бъде избран по m различни начина и за всеки отделен избор друг обект B може да се избира по n различни начина, то двойката обекти A и B може да се избира по m * n различни начина.

Правилото за умножение може да се обобщи и за намиране броя на наредени тройки обекти.

В разглежданата примерна задача трябва да се изчислят възможните видове маршрут от т.A през т.B и т.C до т.D, ако между двойките AB, BC и CD може да има от 1 до 7 маршрута.

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - комбинаторика, правило за умножение.

Чрез отделни списъчни полета да се избират възможните маршрути между всеки две съседни точки.

Да се онагледява избрания брой маршрути.

Да се извежда общия брой маршрути чрез правило за умножение в комбинаториката.

Математика - магически квадрат

Част от първите компютърните игри са използвали като основа известни логически загадки.

Подходите са различни: от добре тренирана памет, развито логическо мислене до умения за прилагане на конкретна успешна стратегия.

Използвани са задачи, имащи многовековна история и притежаващи неизменно характеристики като:

• изискват определени интелектуални усилия и концентрация на вниманието;
• просто са интересни и занимателни, без да бъдат елементарни.

Една от задачите с многовековна история е създаване на магически квадрат. По дефиниция мaгическия квадрат е квадратна числова таблица, в която сумите по ред, колона и диагонал са равни.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - магически квадрат.

Реализираният проект дава възможност за въвеждане на "магически квадрат" съдържащ N*N (N е нечетно число) последователни естествени числа. Сумата от числата в произволен ред трябва да е равна на сумата от числата в произволна колона, сумите по двата основни диагонали също да са равни на сумата по ред/колона.

Геометрия - отсечка с целочислени координати

Построена е координатна мрежа с възли имащи координати естествени числа.

Отсечката MN има начало M(x1,y1) и край N(x2,y2) - точки от координатната мрежа.

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - отсечка с целочислени координати.

Входни данни са 4 естествени числа от интервала [1..999]. Изходни данни са броя точки с целочислени координати, лежащи:

• върху същата отсечка;
• върху правоъгълника, чийто диагонал е отсечката;
• върху правоъгълния триъгълник, чиято хипотенуза е отсечката.

Пример: 10,64; 1,10 Изход: върху отсечка 10 бр.; в правоъгълник 550 бр.; в правоъгълен триъгълник 280 бр.

Пример: 1,5; 4,14 Изход: върху отсечка 4 бр.; в правоъгълник 40 бр.; в правоъгълен триъгълник 22 бр.

Геометрия - обем на цилиндър

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - обем на цилиндър.

Чрез проекта да се изчислява прав кръгов цилиндър по зададени два параметъра от набора:

• радиус на основата R;
• височина на цилиндъра H;
• околна повърхнина S;
• обем на цилиндър V.

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на желаната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените другите два параметъра на правия цилиндър.

Прочетете допълнителен материал за прав кръгов цилиндър и връзката между параметри като: радиус на основата, височина, повърхнина и обем.

Геометрия - изчисляване на прав кръгов конус

Едно ирационално число - НЕ може да се представи като дроб, имаща едновременно за числител и знаменател цели числа.

Числото на Лудолф е ирационално число със стойност pi =3.1415... Неговата стойност е различна от константата на Архимед 22/7, което е периодично число.

Да се състави проект, представящ междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - изчисляване на прав кръгов конус.

Чрез проекта да се изчислява прав кръгов конус по зададени два параметъра от набора: радиус на основата, образувателна, околна и пълна повърхнина на конус.

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените два параметъра на правия кръгов конус.

Прочетете допълнителен материал за прав кръгов конус и връзката между параметри като: радиус на основата, образувателна, околна и пълна повърхнина

Геометрия - описана и покриваща окръжност

Нека имаме 3 точки от равнината с различни координати.

Под описана окръжност ще разбираме окръжност, в която и трите точки лежат на окръжността. Това е случаят, когато точките образуват върхове на триъгълник.

Под минимална покриваща окръжност ще разбираме такава окръжност, в която точките лежат на или вътре в окръжността. В този случай не е непременно необходимо точките да образуват триъгълник, т.е. 3-те точки могат да лежат на права.

Какви са разликите:

радиуса на описаната окръжност се определя като R = a*b*c/(4*S) и той ще бъде равен с радиуса на минималната описана окръжност, ако триъгълникът е остроъгълен или правоъгълен.

радиуса на минималната покриваща окръжност се определя като половината от дължината на най-дългата страна. Той ще бъде недостатъчен, ако триъгълникът е тъпоъгълен. В този случай един от върховете (този на тъпия ъгъл) ще лежи в окръжността, а останалите два върха (краища на най-дългата страна) ще лежат върху окръжността.

Типът на триъгълника (остроъгълен, правоъгълен, тъпоъгълен) се определя от сумите образувани от квадратите на страните му.

Нека страните са определени във възходящ ред: a < b < c

c*c > a*a + b*b - тъпоъгълен

c*c = a*a + b*b - правоъгълен

c*c < a*a + b*b - остроъгълен

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - описана и покриваща окръжност.

Потребителят въвежда, чрез курсора на мишката, координатите на N броя точки.

Координатите на всяка точка са естествени числа от интервала [0..100].

Да се изчисли радиус на минимална покриваща окръжност на която принадлежат всички посочени точки.

Не се разглежда случаят с две точки, т.к. той е тривиален. Двете точки са краищата на минималния диаметър.

Геометрия - пресечна точка на две прави

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - пресечна точка на две прави.

Координатите на начална и крайна точка на отсечки, определящи точки от две различни прави да се въведат в отделни текстови полета и/или чрез събитие On Click.

Да се изведат коефициентите от общите уравнения на правите, както и тяхната пресечна точка.

Пример: (1,15)-(10,15); (5,1)-(5,25) Изход: (5,15)

Геометрия - симетрала в равнобедрен триъгълник

В равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) е построена симетрала към бедрото AC (AM=CM). Симетралата пресича бедрото BC в т.D.

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки Математика (Геометрия) и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - симетрала в равнобедрен триъгълник.

Чрез проекта да се изчисляват елементи на равнобедрен триъгълник по зададени два параметъра от набора: бедро, основа, периметър на равнобедрен триъгълник Pabc, Pabd.

Съобразно избраната комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените останалите два параметъра на равнобедрения триъгълник.

Прочетете допълнителен материал за равнобедрен триъгълник и връзката между параметри като: бедро, основа, симетрала към бедро, периметър и лице.

Геометрия - изчисляване на правоъгълен триъгълник

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - изчисляване на правоъгълен триъгълник.

Чрез проекта да се изчислява правоъгълен триъгълник по зададени два параметъра от набора: катет, хипотенуза, периметър, лице на правоъгълен триъгълник и да се изчисляват останалите два параметъра.

Съобразно избраната от потребителя начална комбинация параметри да се разрешава/забранява въвеждането само на два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените два параметъра на правоъгълния триъгълник.

Прочетете допълнителен материал за изчисляване елементи на правоъгълен триъгълник и връзката между параметри като: катет, хипотенуза, радиус на вписана и описана окръжност, периметър и лице на правоъгълен триъгълник.

Геометрия - изчисляване на обеми

Да се реализира проект, чрез който се илюстрират стъпките при изчисляване обем на конус, пирамида, цилиндър и призма.

Тема на проекта: Геометрия - изчисляване на обеми.

Проектът да предоставя възможност за автоматично генериране стойности на дадените параметри, както и възможност за ръчното им въвеждане.

Управлението на изчислителния процес да се извършва чрез радиобутони, чрез които се посочва: вида на фигурата и вида неизвестно.

Реализираният проект пресмята обеми на следните тела: прав кръгов конус, прав кръгов пресечен конус, правилна четиристенна пирамида, правилна пресечена четиристенна пирамида, цилиндър и паралелепипед.

Геометрия - равнобедрен триъгълник

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - равнобедрен триъгълник.

Входни данни за проекта са два параметъра от набора: катет, хипотенуза, периметър, лице на равнобедрен триъгълник.

Съобразно избраната комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените останалите два параметъра на равнобедрения триъгълник.

Прочетете допълнителен материал за равнобедрен триъгълник и връзката между параметри като: бедро, основа, височина, периметър и лице.

Математика - числов интервал, допустими стойности

Всеки алгоритъм за изчисление работи с данни от определен числов интервал - т.е. допустимите входни данни са в предварително определени граници. На езика на Информатиката се говори за множество от допустими стойности на съответния тип данни.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - числов интервал, допустими стойности.

В реализирания проект чрез радиобутони се избира числов интервал:

• под определена граница;
• над определена граница;
• в затворения числов интервал между долна и горна граници;
• в отворения числов интервал под долната и над горната граници.

Потребителят може да въвежда долна и горна граница на допустимите стойности (естествени числа).

Автоматично се генерират псевдослучайни числа, чийто стойности са в избрания числов интервал.

Математика - изчисляване на корен, степен, логаритъм

Най-често срещаната практическа задача за изчисляване на степен и корен е тази за корен квадратен и повдигане на квадрат. Частни случаи са: метод на Нютон-Рафсън за намиране на приблизителни стойности на корен квадратен, изчисляване цялата част на квадратен корен/ изчисляване стойността на подкоренната величина до желан брой знаци след десетичната точка.. По-рядко срещани са задачи за изчисляване стойност на n-ти корен, степен с рационален показател и логаритъм.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - изчисляване на корен, степен, логаритъм.

Входни данни: реални числа от интервала [0.01..99.99] за стойност на коренен показател, степенен показател и подкоренна величина.

Математика – рамка с минимален периметър

Собственик на просперираща фирма решава да се поглези. С натрупаната печалба иска да направи колаж – в множество еднакви квадрати да се изписват отделните букви на щастливата му мантра. Целият колаж да е ограден от рамка с ширина размера на малките квадрати. Проблемът е в детайлите – самата рамка трябва да бъде от масивно злато. Неговият счетоводител е поставен пред дилема: ако се съгласи напълно с шефа си, означава да се замрази голяма сума от оборотния капитал, а следователно и редуциране на бъдещата печалба; ако се противопостави означава да си търси друга работа. Единствената удовлетворителна възможност е златната рамка да е с минимален периметър.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика – рамка с минимален периметър.

Входни данни за проекта: текст на щастливата мантра или брой букви в нея. Текстът може да бъде допълван с интервали, но началния брой букви не може да се намалява. Размера на буквите също не се променя. Допустимо е мантрата да се представи като анаграма.

Изходни данни: възможни размери за периметър на рамката, последните изведени данни да извеждат размер на рамката с минимален периметър.

Математика - апроксимация на Лайбниц

Целта на апроксимацията (приближението) е да се сведе изследването на числови стойности на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са по-удобни за работа.

Числото pi е ирационално число, т.е. не може да бъде представено като отношение на две цели числа. То представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър.

Приблизителни стойности на pi, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (Архимед) и 355/113 (древните китайски математици).

Има множество формули за приближено изчисляване и една от тях е на Лайбниц.

Представлява сума от дроби с числител 1 и знаменател поредните нечетни числа, като всеки четен член е със знак минус.

Да се реализира проект, осъществяващ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - апроксимация на Лайбниц.

Чрез проекта да се изчислява приближената стойност на pi.

Да се извежда изчислената крайна приближена стойност, както и последните 10 изчислени стойности.

В реализираният проект се използват два подхода за изчисляване приближената стойност на pi:

• чрез определяне на необходимия брой членове в редицата;
• при достигане на определена минимална стойност при приближение.

Математика - прости числа, Ератостен, Голдбах

Съществува теорема на Голдбах (не е доказана), която твърди, че цяло число (с изключение на 1 и 2) може да се представи като средно ариметично на две прости числа.

Пример:

7 = 0.5*(1 + 13)

7 = 0.5*(3 + 11)

7 = 0.5*(7 + 7)

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - прости числа, Ератостен, Голдбах.

Входни данни: естествено число N от интервала [3..999].

Извежда се сито на Ератостен за интервала [1..2*N].

Доказва се или се опровергава хипотезата за представяне на всяко цело числа като средноартиметично на две прости числа.

Математика - лице на триъгълник

Да се състави проект, реализиращ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - лице на триъгълник.

Чрез проекта да се решават следните типове задачи:

• По въведени: дължина на страна, прилежащ и срещулежащ ъгъл, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: дължина на страна и два прилежащи ъгъла, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: два ъгъла и лице на триъгълник, да се изчисли периметър на триъгълника и радиуса на описаната окръжност.
• По въведени: два ъгъла и радиус на описаната окръжност, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: прилежащ ъгъл, страна и радиус на описаната окръжност, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: дължина на две страни и ъгъл между от тях, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: дължина на две страни и прилежащ ъгъл към една от тях, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: дължина на две страни и лице на триъгълника, да се изчисли радиуса на описаната окръжност.
• По въведени: дължина на две страни и радиус на описаната окръжност, да се изчисли периметър и лице на триъгълника.
• По въведени: дължина на страна, радиус на описаната окръжност и лице на триъгълник, да се изчисли периметъра му.
• По въведени: ъгъл, радиус на описаната окръжност и лице на триъгълник, да се изчисли периметъра му.
• По въведени: срещулежащ ъгъл, страна и лице на триъгълник, да се изчисли периметър и радиус на описаната окръжност.
• По въведени: страна, прилежащ ъгъл и лице на триъгълник, да се изчисли периметър и радиус на описаната окръжност.

Реализираният проект съдържа два командни бутона - за изчисляване на резултатите и за изчистване на въведените данни и извършените изчисления. входните данни се въвеждат в текстови полета. Изборът на вида входни данни се осъществява чрез списъчно поле. Изчислените резултати се извеждат в текстови полета.

Математика - числа в цифров квадрат

Задачите от типа цифов квадрат способстват за развитие на мисловния процес, развиват зрителното възприятие и адаптивността на вниманието. Една такава задача, представлява квадрат, съставен от 3х3 малки квадратчета. Във всеки от външните 8 квадратчета (част от страните на цифровия квадрат) се поставят числа, така че да се формира еднаква сума по всяка от страните на квадрата.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - числа в цифров квадрат.

Потребителят да има възможност за въвеждане на естествени числа/цифри в отделните квадратчета, така че сумата от числата в произволна страна на квадрата да е равна на сумата от числата във всяка от останалите страни на цифровия квадрат. Елементите на цифровия квадрат (малките квадратчета) са общо 9, но само в 8 се поставят числа.

Да се поставят странични полета за изчисляване на суми по отделните страни на квадрата, както и общата сума от всички въведени числа.

Да се реализира възможност проектът да генерира/попълва целия цифров квадрат. Когато потребителят попълва число цветът на текста да е различен от варианта, в който компютърът генерира числата в квадрата.

Математика - наклон на пътя, проценти, градуси

Често в практиката наклона на пътя / покрива се дава в проценти. Съществува рекурентна връзка между проценти и тригонометрична функция за градуси на наклон.

Ако използваме определението на Евклид за равнинен ъгъл като наклон, който образуват две пресичащи се прави, то лесно ще се извежда зависимостта между катети в правоъгълен триъгълник.

Процентът на наклона се изчислява като отношение на височина (вертикалната част) към дължина (хоризонталната част) изразено в проценти. За ъгъла се използва функцията аркустангенс от същото отношение между двата катета.

Да се реализира проект, чрез който се осъществяват междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - наклон на пътя, проценти, градуси.

В реализираният проект се използват два начина за посочване на точка: чрез ленти за статус, както и чрез събитие On-Click върху графичен обект.

Прочетете допълнителен материал за проценти наклон в железопътния транспорт.

Математика - цилиндър, радиус, височина, повърхнина, обем

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - цилиндър, радиус, височина, повърхнина, обем.

Чрез проекта да се въвеждат по избор два параметъра от множеството: радиус, височина, диагонал на осно сечение, повърхнина, обем и да се изчисляват дължините на останалите елементи в същия прав кръгов цилиндър.

Съобразно избраната начална комбинация параметри да се разрешава въвеждането само на два от изброените параметри.

Изборът на желаната комбинация параметри да се осъществи чрез списъчно поле, а размерите на цилиндъра да се въвеждат в текстови полета.

Математика - конус, радиус, височина, повърхнина, обем

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - конус, радиус, височина, повърхнина, обем.

Чрез проекта да се въвеждат по избор два параметъра от множеството: радиус, височина, повърхнина, обем и да се изчисляват дължините на останалите елементи в същия прав кръгов конус.

Съобразно избраната начална комбинация параметри да се разрешава въвеждането само на два от изброените параметри.

Изборът на желаната комбинация параметри да се осъществи чрез списъчно поле, а размерите на конуса да се въвеждат в текстови полета.

Математика - окръжност в правоъгълен триъгълник

Ако в правоъгълен триъгълник означим дължините на катетите с a, b и c за хипотенуза, r - радиус на вписана окръжност, а с R - радиус на описана окръжност, можем да изведем следните зависимости:

от теорема на Питагор за катети и хипотенуза: a*a + b*b = c*c

радиус на вписана окръжност: 2*r = a + b - c

радиус на описана окръжност 2*R = c

Да се реализира проект представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - окръжност в правоъгълен триъгълник.

Входни данни са две от посочените 4 параметъра: дължина на катет a, b, r - радиус на вписана окръжност, и R - радиус на описана окръжност. Останалите два стойности да се изчисляват.

Математика - вписан правилен многоъгълник

Многоъгълник, чийто страни не се пресичат и с равни ъгли и дължини на страни ще наричаме правилен многоъгълник. Пример за такива правилни многоъгълници са равностранния триъгълник, квадратът и др.

Вътрешните ъгли на правилен N-ъгълник (в градуси) са с размер: (N-2)*180/N. Около всеки правилен многоъгълник може да се опише единствена окръжност, т.е. всички негови върхове лежат на описаната окръжност.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - вписан правилен многоъгълник.

Чрез списъчно полета, потребителят да избира:

• брой върхове на многоъгълника;
• радиус на описаната окръжност;
• вид линия за изчертаване.

Да се изчертава автоматично вписан правилен многоъгълник с въведените параметри.

Прочетете допълнителен материал за построяване на правилен многоъгълник (само с линия и пергел).

Математика - взаимно разположение на два правоъгълника

Правоъгълник, чийто страни са успоредни на координатните оси, може еднозначно да бъде зададен чрез координати на два диагонално срещулежащи върха.

Да се състави проект реализиращ междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - взаимно разположение на 2 правоъгълника.

Проектът да дава възможност за въвеждане координатите на два диагонално срещулежащи върха. Да се реализира възможност и за автоматизирано въвеждане на координатите чрез генериране на случайни естествени числа от интервала 0..25.

Да се изчертават автоматично двойката правоъгълници по въведените координати и да се изведе съобщение за тяхното взаимно разположение: вписване, пресичане, без обща точка.

Математика - пресечен конус

Да се реализира проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - пресечен конус.

Чрез проекта да се изчислява прав пресечен кръгов конус по зададени три параметъра от набора: r- радиус на по-малката основа, R - радиус на по-голямата основа, L - образувателна, H - височина, So - околна и V - обем на конуса.

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите три параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените три параметъра на пресечения конус.

Прочетете допълнителен материал за прав пресечен кръгов конус и връзката между неговите параметри: радиус на основата, образувателна, височина, обем, околна и пълна повърхнина.

Математика - лодка по реката

В основното образование има ред задачи свързани с движение на лодка по река. Основен принцип при тях е: лодката, движейки се по течението прибавя към своята скорост тази на течението, а лодката срещу течението от намалява скоростта си с тази на течението (то пречи и затова лодката се движи по-бавно).

Да се реализира проект, чрез който се представят междупредметни връзка между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - лодка по реката.

Чрез проекта да се въвеждат и изчисляват: собствената скорост на лодката, скорост на течението, скорост на лодката по и срещу течението. Въвежданите и изчисляваните скорости са с еднаква дименсия: [km/h].

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите два параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация входни данни и да се извеждат изчислените два параметъра за скоростта на лодката/течението.

Прочетете допълнителен материал за движението на товари по водните пътища.

Математика - правоъгълен трапец, основи, лице

Да се реализира проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - правоъгълен трапец, основи, лице.

Чрез проекта да се въвеждат по избор три параметъра от множеството: основа, височина, бедро, периметър, лице и се изчисляват дължините на останалите елементи в правоъгълен трапец.

Съобразно избраната начална комбинация параметри да се разрешава въвеждането само на три от изброените параметри.

Изборът на желаната комбинация параметри да се осъществи чрез списъчно поле, а размерите на правоъгълния трапец да се въвеждат в текстови полета.

За правоъгълен трапец - двете основи (a,c) са успоредни, едното бедро е перпендикулярно на двете основи и е равно на височината на трапеца.

Математика - равнобедрен трапец, основи, лице

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - равнобедрен трапец, основи, лице.

Чрез проекта да се въвеждат по избор три параметъра от множеството: основа, височина, бедро, периметър, лице и се изчисляват дължините на останалите елементи в равнобедрен трапец.

Съобразно избраната начална комбинация параметри да се разрешава въвеждането само на три от изброените параметри.

Изборът на желаната комбинация параметри да се осъществи чрез списъчно поле, а размерите на равнобедрения трапец да се въвеждат в текстови полета.

За равнобедрен трапец - двете основи (a,c) са успоредни, а бедрата са с равна дължина, ъглите при основата са равни, диагоналите му са равни. Около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност, а ако има равенство между сумата от дължините на основите на трапеца и сбора от дължините на бедрата, то в него може да се впише окръжност. Средите на основите, пресечните точки на диагоналите и пресечните точки на продълженията на бедрата лежат на една права.

Геометрия - вписана окръжност в трапец

В равнобедрения трапец ABCD (AB и CD са основи) е вписана окръжност. За трапеца са въведени данни за два параметъра от набора: дължини на основите, бедро, периметър и радиус на вписаната в трапеца окръжност. Трябва да се изчислят останалите три параметри.

Да се реализира проект, чрез който се осъществяват междупредметни връзки между Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: Геометрия - вписана окръжност в трапец.

Реализираният проект позволява избор за всяка от допустимите комбинации от два параметъра.

Математика - височина и ъгли в равнобедрен триъгълник

Да се състави проект, чрез който се представя междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - височина и ъгли в равнобедрен триъгълник.

Чрез проекта да се изчисляват ъгли в равнобедрен триъгълник по зададени ъгъл от набора: ъгъл при основата, при върха, между основа и височина, между височина и бедро.

Съобразно избраната комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите три параметъра.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислените три ъгъла в равнобедрения триъгълник.

Прочетете допълнителен материал за равнобедрен триъгълник и връзката между параметри като: бедро, основа и височина.

Математика - странна числова редица

Под числова редица, най-често се разбира изброяване на краен/безкраен брой нейни членове в точно определен ред.

Отделните числа, от които се състои редицата, се наричат нейни членове.

Най-често срещаните задачи за числова редица се свеждат до търсене на следващ, липсващ член, граница на числовата редица или някаква закономерност – определена с рекурентна формула.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - странна числова редица.

Автоматично да се извеждат 10 елемента на числова редица, а от потребителя да се изисква да посочи следващите 4 елемента.

В реализирания проект се извеждат последователни елементи, но с различен начален номер. За представяне на отделните елементи в редицата се ползват 14 отделни обекта. Всеки обект съдържа едноцифрено естествено число. Всяка цифра се въвежда чрез събитие On-Click върху обект. При всяко ново кликване цифрата върху обекта нараства от 0 до 9.

Примери за подобна числова редица:

2,-1, 4,-3,6,-5...

31129231.....

Математика - числов триъгълник, кратни числа

Числов триъгълник е съвкупност от знаци, най-често числа и/или цифри. В класическия числов триъгълник знаците са подредени в редове, като разликата между дължините на два съседни реда е 1, броят елементи във всяка колона е също 1. Това твърдение е валидно, когато знаците са букви или едноцифрени числа.

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика

Тема на проекта: Математика - числов триъгълник, кратни числа.

Потребителят въвежда естествено число от интервала [2..99].

Реализираният проект да извежда числов триъгълник, в който:

• всеки ред започва с поредното естествено число, започвайки с 1 и съдържа множество кратни числа.
• всеки номер колона започва от съответния номер ред и е равен на номера на реда. Всеки елемент от съответната колона е кратен на елемента от предходния ред в същата колона.

Проектът допълнително да извежда първия номер на ред, в който се среща въведеното число.

Пример: 4:

1

2 2

3 4 3

4 6 6 4

Числото 4 се среща в ред 3

Математика - равностранен числов триъгълник

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - равностранен числов триъгълник.

Входни данни: естествено число от интервала [1..1001].

В предварително построен равностранен триъгълник се извеждат 6 последователни числа, като първото от тях е въведеното.

На всяка страна от триъгълника - в началото, средата и края се поставя по едно число от тази редица, така че се формират равни суми от числата лежащи на страна от триъгълника.

Математика - обем на призма, повърхнина, страни

Да се състави проект, чрез който се представят междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - обем на призма, страни, повърхнина.

Чрез проекта да се въвеждат по избор три параметъра от множеството: страни на основата, височина, околна повърхнина, обем и да се изчисляват дължините на останалите елементи в същия права призма с основа правоъгълник.

Съобразно избраната начална комбинация параметри да се разрешава въвеждането само на три от изброените параметри.

Изборът на желаната комбинация входни параметри да се осъществи чрез списъчно поле, а размерите на призмата да се въвеждат в текстови полета.

Призма, чийто околни ръбове сключват с равнините на основите прав ъгъл ще наричаме права призма. При правата призма околните стени са правоъгълници/квадрати, а нейната височина е равна на образуващата. Призма, чиито основи са успоредници, се нарича паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед е права призма с основа правоъгълник. В проекта са използвани следните формули и означения:

a, b - страни на основата;

c - височина, образувателна на призмата;

Използват се следните формули:

Околна повърхнина: S = 2*c*(a+b)

Обем: V = a*b*c

Пример: a=3, b=4, c=5 Изход: S=70 V=60

Математика - изчисляване на правоъгълник

Правоъгълникът е равнинна геометрична фигура - успоредник с 4 прави ъгли. Всяка двойка срещулежащи страни са успоредни, а всяка двойка прилежащи страни са взаимно перпендикулярни.

Да се реализира проект, в който се осъществяват междупредметни връзки Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - изчисляване на правоъгълник.

Чрез проекта да се изчисляват размерите на правоъгълник по зададени два параметъра от набора: дължина на страни, диагонал, периметър и лице на правоъгълник.

Съобразно избраната начална комбинация от параметри на потребителя да се разрешава/забранява въвеждането на другите параметри.

Да се използват радиобутони за определяне на началната комбинация от параметри и да се извеждат изчислени останалите три параметъра на правоъгълника.

Прочетете допълнителен материал за правоъгълник и връзката между параметри като: дължини на страни, диагонал, периметър и лице.

При извършване на тестови проверки можете да използвате данни за страни от вида питагорови тройки - 3,4,5.

Математика - равни суми от числа

Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.

Тема на проекта: Математика - равни суми от числа.

Чрез реализираният проект се въвежда едно естествено число и се генерира редица от последователни естествени числа с начало въведеното число

За триъгълник се генерират 6 естествени числа - във всяка от страните му има по 3 числа с равна сума. Пример: 7 Изход: по страни: 7,11,9; 9,10,8; 8,12,7

За ромб се генерират 8 последователни естествени числа, разположени във върховете на ромба. Във всеки негов връх има еднаква сума от тези числа. Пример: 7 Изход: (по върхове) 9,12; 10,11; 7,14; 8,13.

Числата от върховете/страните на фигурите се появяват след събитие On-Click върху обектите за върхове на фигурата и/или върху съответното число от отделно списъчно поле.